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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @gmV*QXo  
',mv HL  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. zU9@<) 0  
R[pV|lA 7`  
　　1、三角函数本质： W~~&**B  
*h-yf  
　　三角函数的本质来源于定义 [ 3L-e  
[ )^Q?T  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 CzC4 <  
6D 7XtwM  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dBfDY])  
}jiUR<3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： >+(o|i  
}RR%LL!  
　　推导： s&<JZ0  
hpt^JGLj  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 u(lR7<OJ  
aLHp<Tm,`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,F rdYei  
Le%x8>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Xl)hp  
G->S}  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1Egwrfm%  
!uP)ryEim  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .7QnX[#  
:{JX3kz  
　　[1] X_0(*oD<  
UFNO E""k  
　　两角和公式 aY}@sm6?2  
_hSY r2?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB b S$D|S  
Wb4fXXq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  C3YKe  
~geb$*c  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,u_nN1~  
9Ie]sCbp  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB VpPRRB.i%M  
#q"$37  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~7(N}%Y  
>=^'P{"<wG  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Ll'D  
hDpjIM\rm  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  c <JzX``  
_#(DC[E/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) * ^l$VL!+  
iE-VjccDs@  
倍角公式 zxP3-9l>  
[zeL3?  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2z:ka5NQ  
I(5[N3N%Z  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (<Arx9a  
1^ia@$  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） tR*H18eJ  
R) FRC-]  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） FNnTBG b'  
=iq.p!!_  
三倍角公式 T<snE 7hc  
bByv F3  
　　 7l&nvnJGO  
? C!CdB2  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Z5m nLk  
"]3[Tq@  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) KCS(#D5T  
[RE t]5rG  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |5>l9ci  
CwJl+5  
三倍角公式推导 S<evz-Yi  
JA 1o@c  
　　sin3a 0Cn| nC  
Vcf`tvhF*  
　　=sin(2a+a) 2X k,7ZyC  
p?=r LtO  
　　=sin2acosa+cos2asina  p D{Qhn  
!ki3[=" D  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina UabP;iJ  
HpP>q4 X  
　　=3sina-4sin³a Xn|.~xO  
Sv3QF  
　　cos3a M.X?[LxG0  
3TL<SN  
　　=cos(2a+a) ~\- cwrh#  
Nr9/^`[(  
　　=cos2acosa-sin2asina K) 28M `  
drNc R  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 7+<1ad'  
J\irg1sU  
　　=4cos³a-3cosa K2# t@7  
a m|j#+wU  
　　sin3a=3sina-4sin³a j>N1N4N'dE  
fW;U' 5  
　　=4sina(3/4-sin²a) jAZW1Hx\  
A1I3, j  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] %@G= s/f  
.>Eq$C  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ;`!@q(  
tGB.LUEX%  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ^i5P#^[n  
+A/Tm22m>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2Rjb%BNf  
ft|c!7cd  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;#=i/{x  
\qr'M   
　　cos3a=4cos³a-3cosa g-{*bhgi  
dLQqJg  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 5Jcr5Sxr  
0Pb-]GaF  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] N/j\gvx ~  
%i6 p;cf  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) qE-@ZURi  
8S cWl$ m  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) IBsR$^"1  
 nTc_*1-  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} `o=xOBIFl  
kh7-EKD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) kz>?jMTA  
f[`4c0L  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 11<m|=g  
l \7:I0d  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M~09I  
>ASJ@`.<  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) d~[fx{ |}  
W|= AS  
　　上述两式相比可得 )Sdc&]  
1(3|--sj  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) `hqiLk  
'[VgOcXIX  
半角公式 heMRV #  
y#6 &  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /V}7l2_!5g  
d^P0X&!;"  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. v +u$FV#Y  
[HI9FUYHpu  
和差化积 3>@iz   
EZ#DL?&UD`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~?Ka}:7I(,  
9l'qq  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] UCQ3M  
|{w090}k  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;W&hb>5O  
hK Dgr,Br  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q''SJ9opu  
@x-b"fql  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) L4 XlA='!  
b,aQ4sw  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Y9NFQw Sk  
W iyHTa  
积化和差 U| 8<!l  
U7,XXAq6z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !N ov=8<  
Pv_QRt6e  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Dd YVND:1  
*io`eP-LTo  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +th"U*_  
(^ xEt\  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] J@w7, ;  
7(EPxgH  
诱导公式 N)9_}p  
>l-v-s,  
　　sin(-α) = -sinα k:vTgQ  
X@gN7D=@o  
　　cos(-α) = cosα _b_fW"Y>  
A>@a3  
　　sin(π/2-α) = cosα {*i1<C7v  
!9P56h Q  
　　cos(π/2-α) = sinα 6p7>Zu  
r]{0+=f x  
　　sin(π/2+α) = cosα \XwPItm  
(ncx*& LY  
　　cos(π/2+α) = -sinα iC_sy5u  
| k|"&3dr  
　　sin(π-α) = sinα &tu(32n  
vT*+k<  
　　cos(π-α) = -cosα K=%' !]Y  
#,UvV}1  
　　sin(π+α) = -sinα R &hw~1a  
}H({tg\.]  
　　cos(π+α) = -cosα P?[]|[,u|  
mS\^Dz  
　　tanA= sinA/cosA $W+~D/<z  
\%qfxn\  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα `VkZp |  
T 'z]^ML  
　　tan（π/2－α）＝cotα <BNznvxzC  
/hz7Iz)sI  
　　tan（π－α）＝－tanα ]w.0u_BAq  
Od1@^e{n&  
　　tan（π＋α）＝tanα ,ji{Prh  
EL ':25$\o  
万能公式 >^}`knM   
dGaI bL  
　　 PHC5qL_  
lq GG#s  
其它公式 f m#PIF8  
,vnRA$&g  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 6 .A_/'  
2%*ZJ[IT  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 _s};adbX  
 x1 C_R  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ~*xG(=#  
7y)\X|3D>  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 sN0;C(5LQ  
#]@Ki1 -'  
　　对于任意非直角三角形,总有 *3k 6MDg!  
@.J &+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /$]agEV)`  
v]|G=ApeU^  
　　证: oe<Vp);*)  
6$!22&  
　　A+B=π-C 8pYUH$;  
#@* *A~T_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Lm ,X/Jf  
f2"iKKj4  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) )^U'#V  
r_g?>  
　　整理可得 -#g%6J  
]iJbpeyd  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |C .c lQxV  
,x0SOUWz  
　　得证 YKy v9(]  
8j[S4,GX|  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 x%G%pz*9  
(FxVK<D  
其他非重点三角函数 F0:s!Z&!?  
%R VlQV  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?% EBDdb  
tYw<Kj45  
　　sec(a) = 1/cos(a) )mb':ZkY  
E:!({+MW=<  
　　 <Z1L -J   
mv-&=N3b  
双曲函数 sMdQTN{ra  
$,vAP9gq:}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 OOU`!tgf?  
rif>M  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0w6i t  
*}Y"WS  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) rR?1|b7L  
_Dsjv4p  
　　公式一： 0 c^Dh:s  
`rdt[t=L0  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： weVDKTe  
nX!mtL/  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ARg6#J>  
J kJrg48  
　　cos（2kπ＋α）= cosα {a_mKW$%  
Q:|nT;Co  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7p$O )Gi  
:QF%e,r  
　　cot（kπ＋α）= cotα 2bc[xH  
t "X (  
　　公式二： %W>QF'&Ma  
ze=%R6/_  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ?m5f),kb[  
(d2:|bq  
　　sin（π＋α）= -sinα zlwXDw  
sYDxk!  
　　cos（π＋α）= -cosα +;RT4 ]t  
L{!G~ARs}  
　　tan（π＋α）= tanα %/V?J83H  
$a]2EYCx  
　　cot（π＋α）= cotα tr[ +WsV  
&UQRY fC  
　　公式三： ,iD?!^nS  
`]2+-H&[f  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： q$ 3U  
ldEv(`  
　　sin（-α）= -sinα 1q'8a HH2  
@6k406~#  
　　cos（-α）= cosα gRzFL/`b  
o G^D)(5'  
　　tan（-α）= -tanα ak'(95  
>0<94CYuK{  
　　cot（-α）= -cotα XDc4.qI  
%5n,%W  
　　公式四： :]ilOK w  
{UA1> 2s  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 51 jG:{  
HlaNV:"  
　　sin（π-α）= sinα 0T]Qo~aN+  
u)IByn`l1  
　　cos（π-α）= -cosα .2UBoqd7  
y@qf3[f  
　　tan（π-α）= -tanα " y>f='hhM  
@5X 4DT!  
　　cot（π-α）= -cotα 3z\2U  
a+L$&v  
　　公式五： .o o>"1  
;grb8pE  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： mr iHu$  
\"yq}dl'j  
　　sin（2π-α）= -sinα Y#xh-nE  
NbI`8EgI;  
　　cos（2π-α）= cosα n1P9r "~  
=I;3I<, z  
　　tan（2π-α）= -tanα bF<s}I5  
x]L:ZgDf  
　　cot（2π-α）= -cotα %L}x|  
AZ[RAU~+  
　　公式六： 3} 'zOeZ?  
l(^`}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Z>+2 Lf  
9$j@g$B  
　　sin（π/2+α）= cosα }tphPwY  
h61uwn  
　　cos（π/2+α）= -sinα Lzi'-aOU  
H}BsJREX  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~,%e!7lmd  
h^c35q2p[  
　　cot（π/2+α）= -tanα .zw| T  
1 AN]eB  
　　sin（π/2-α）= cosα KN6d9+8  
LGX> &j  
　　cos（π/2-α）= sinα (BGIYUH  
ggc `s6@Q  
　　tan（π/2-α）= cotα X!T (&L*d  
u/sx+Xn  
　　cot（π/2-α）= tanα P^a4Y)%  
Fxg v -!  
　　sin（3π/2+α）= -cosα TN >!C&%l  
a~ rpJ$]I  
　　cos（3π/2+α）= sinα )?Ajstg<]  
V~:h#wdB  
　　tan（3π/2+α）= -cotα HlH >ktOQ  
V_XvU 5jBl  
　　cot（3π/2+α）= -tanα dSgNk5~Ca  
rxN*8Eh&  
　　sin（3π/2-α）= -cosα )*dRP*J)  
~MIO8M-8R  
　　cos（3π/2-α）= -sinα HTaN/F:J  
C)* yO"!  
　　tan（3π/2-α）= cotα !?4iSo6:xL  
8 /7f<,  
　　cot（3π/2-α）= tanα %S6qDHkp*  
~;?Y^E&  
　　(以上k∈Z) pe)DFlu2  
Wp{`I}  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [N!< 3B<@  
[x ! EXX  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = GOHNz;q  
%.6>E=%  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ^=^G!0PO  
nNPWT  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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